Salah satu unsur matematika di alam yang menakjubkan adalah sarang lebah yang memiliki bentuk segienam yang mencerrminkan desain geometri yang luar biasa. Para ahli matematika telah melakukan perhitungan yang panjang untuk mengemukakan alasan di balik bentuk segienam tersebut. Mereka menyimpulkan bahwa cara terbaik membangun gudang simpanan dengan kapasitas terbesar dan material yang sedikit adalah dengan bentuk dinding kantung sel berbentuk segienam beraturan. Para ahli matematika juga mengungkap bahwa hal tersebut bisa saja dipenuhi dengan bentuk segitiga atau persegi. Tetapi segienam beraturan memiliki keliling lebih kecil dan kapasitas terbesar. Dari kajian isoperimetrik, ahli matematika menyimpulkan bahwa dengan keliling yang sama, lingkaran memiliki luas yang lebih besar dibandingkan semua poligon. Kajian isoperimetrik juga menyatakan bahwa poligon beraturan memiliki luas yang lebih besar dari pada poligon tak beraturan. Persyaratan sebagai pilihan terbaik untuk struktur sarang lebah antara lain adalah bahwa tidak ada ruang sia-sia dalam pengubinan. Persyaratan kedua adalah bahwa jumlah material yang dibutuhkan untuk membangun sel harus seminimal mungkin, tetapi kapasitas penyimpanannya adalah terbesar. Hal yang ditunjukkan dalam tulisan ini adalah pengkajian pembuktian dari Lemma Pemotongan yang diberikan oleh Hales untuk menunjukkan bahwa bidang geometri segienam beraturan adalah bangun yang paling memenuhi persyaratan dibandingkan bidang geometri lainnya dengan keliling paling minimal untuk mempartisi dalam jumlah yang banyak. Hal tersebut dapat dipaparkan dengan mengkaji rasio keliling terhadap luas lingkaran dan beberapa poligon beraturan serta menganalisa pengubinan dengan pengukuran sudut interior.